Articles

Gravitation encourage la diffusion du savoir. Nous espérons que vous prendrez tout autant de plaisir à lire nos articles scientifiques que nous en avons pris pour les écrire. En cas de questions, n'hésitez surtout pas à nous contacter via la rubrique Contact. Bonne lecture !


Les larmes de vin (P. EDEL, juin 2017)

Le phénomène des larmes de vin, observable dans tout verre de vin ou spiritueux, est une manifestation physique de l'effet Marangoni. L'article décrit simplement ce phénomène de transport bien connu en mécanique des fluides.

Tout bon amateur de vin se doit d’avoir déjà observé les larmes de vin : après avoir fait tournoyer le verre pour en libérer les arômes, une certaine partie du vin forme un anneau autour du verre. Des gouttelettes s’y forment avant de descendre lentement le long des parois. Aujourd’hui, GraviTAtion vous révèle les secrets de votre verre de vin.

Une fois le film de vin déposé sur la paroi de votre verre, il commence à s’évaporer. L’alcool, ayant une pression de vapeur saturante plus élevée que celle de l’eau, s’évapore plus vite. La concentration en alcool diminue drastiquement, surtout vers le haut du verre, où le film de vin est moins épais. Apparaît donc le long du film un gradient de concentration en alcool.

Or la tension de surface du mélange eau-fructose est environ 3 fois plus élevée que celle de l’alcool (0.07 N.m-1 contre 0.02 N.m-1), donc qui dit gradient de concentration dit aussi gradient de tension de surface.

Reste à voir comment se traduit ce gradient de tension de surface du point de vue de la dynamique du vin dans le verre…


Pour le comprendre, considérons une fine flaque de vin dont la concentration en alcool croît avec x, c’est-à-dire qu’il existe un gradient de tension de surface ∂γ/∂x>0 (voir schéma ci-dessous)

Si on étudie l’équilibre d’un petit élément de l’interface liquide-air, de longueur dx et de largeur dy, en ne considérant que l’écoulement parallèle à l’interface, les forces de viscosité devraient compenser les forces de surface :

Sachant que η >> η air on peut négliger la contrainte visqueuse due à l’air. On en déduit :

Le liquide s’écoule donc des régions de faible tension de surface vers les régions de tension de surface plus élevée avec une vitesse proportionnelle au gradient de tension de surface. C’est ce qu’on appelle l’ effet Marangoni.

Si on en revient à ce qui se passe dans le verre, le vin devrait s’écouler vers la région la moins concentrée en alcool, c’est-à-dire vers le haut du ménisque. Ainsi le vin s’accumule au sommet du ménisque, et forme une goutte. La goutte peut grossir jusqu’à atteindre un diamètre critique qui correspond environ à la longueur capillaire :

(soit 2mm environ). Au delà de ce diamètre critique, les forces capillaires n’assurent plus l’adhérence de la goutte à la paroi. La goutte descend alors lentement la paroi du verre, par gravité, devant les yeux brillants de buveurs ébahis.



Mathématiques savonneuses (C. DEREUX, mars 2017)

Bien souvent, on use des mathématiques pour résoudre des problèmes physiques. Pourrions nous utiliser certaines propriétés physiques pour résoudre des problèmes mathématiques complexes?

Quel est le chemin le plus court reliant N points fixes du plan ? Par exemple, comment créer un réseau d'autoroutes de longueur totale minimale reliant les plus grandes villes de France? C'est précisément le problème auquel nous allons nous intéresser, bien connu sous le nom de problème de Steiner.

I – Une résolution informatique du problème de Steiner


Dans un premier temps, tentons de résoudre ce problème de manière classique. Si lorsqu'il n'y a que deux points, la solution est triviale - la ligne droite - , c'est déjà moins simple pour trois points (bien qu'en trouver une solution exacte se ramène à un problème de géométrie élémentaire), et dés que nous généralisons pour N points, ça se complique...

La généralisation à N points du problème de Steiner appartient à une classe de problème dits NP-complets dont on ne connait pas d'algorithme efficace les résolvant. Il faut se contenter d'une résolution approchée en faisant appel à une heuristique 1.

Voici un exemple d'exécution d'une heuristique:


II – Une solution expérimentale au problème de Steiner


Avez-vous déjà remarqué comment se forme un film de savon ? Partons de ce constat physique: il existe une force – la force dite de tension de surface – qui tend à minimiser la surface d'un film de savon 2. Ainsi, tout film de savon adopte la forme qui minimise localement son energie, et donc sa surface.

Comment pourrions nous utiliser cette propriété des films de savon dans le cadre du problème de Steiner ?

Prenons deux plaques de plexiglas, plaçons-les parallèles et relions-les par des attaches qui matérialiseront les points fixes. Plongeons le tout dans un bain d'eau savonneuse. Lorsque l'on sort le montage de l'eau, un film de savon de surface totale minimale se crée. Les deux plaques étant parallèles, cette surface minimale (problème en 3D) correspond à un chemin de longueur minimale reliant tous les points (problème en 2D) .

Bien entendu, la configuration étant obtenue à l'issue d'une expérience correspondant à un minimum local d'energie, il peut y avoir plusieurs configurations possibles – autant que de minima locaux.


III – Application à la carte de France


Qu'en est-il du réseau autoroutier français ? Appliquons ce problème à la carte de France.

Soient les dix villes les plus peuplées de France Métropolitaine : Paris, Marseille, Lyon, Toulouse, Nice, Nantes, Strasbourg, Montpellier, Bordeaux, Lille. Comparons les solutions expériementales avec la solution informatique obtenue. Rappelons que la configuration obtenue expérimentalement n'est pas toujours la même étant donné qu'elle correspond à un minimum local d'énergie. La configuration suivante est celle qui apparaît le plus frequemment (pour plus de lisibilité, le chemin obtenu est repassé en rouge) : on obtient quasiment les mêmes arbres de Steiner !

Y a -t-il des similitudes avec le réseau autoroutier français actuel ?

Si on s'intéresse aux dix villes considérées, les autoroutes dessinent à peu près les formes de la solution trouvée avec notre montage savonneux ... Mais quelles sont les limites de cette résolution ? Comment expliquer les différences avec le réseau autoroutier français ? N'est-il pas optimal ?

Ces différences entre l'arbre de Steiner obtenu et la carte réelle sont dûes à notre modèle de la France. En effet, la France n'est pas une surface parfaitement plate, il existe des barrières et obstacles naturels (reliefs, fleuves, ...). De plus, il y a une hiérarchie dans l'importance des villes. Est-il judicieux de devoir faire le tour de la France pour se rendre de Paris jusqu'à Lyon ?

Quoi qu'il en soit, n'en déplaise aux mathématiciens, pour une fois ce sont des observations physiques qui viennent leur proposer des solutions !